Фокусное расстояние оптической системы по параметрам линзы

Фокусное расстояние оптической системы по параметрам линзы определяется как дистанция от оптического центра тонкой линзы или главной точки сложной системы до фокальной плоскости, измеренная вдоль главной оптической оси. Инструмент предназначен для точного вычисления этого параметра у одиночной линзы или многокомпонентной оптической схемы на основе заданных геометрических и физических характеристик. Эта базовая величина показывает, насколько сильно оптический элемент преломляет или отражает световые лучи. Знак полученного результата напрямую указывает на характер элемента: положительное значение соответствует собирающей оптике, а отрицательное - рассеивающей.

Выбор методики расчета зависит от имеющихся у пользователя исходных данных. В качестве входных параметров используются дистанции от оптического центра до предмета и изображения, радиусы кривизны рабочих поверхностей с показателем преломления стекла, геометрия сферических или параболических отражателей, а также физические габариты светочувствительной матрицы в паре с требуемым углом обзора.

Линейный результат вычислений выражается в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Наряду с метрическими единицами в оптических расчетах применяется оптическая сила, измеряемая в диоптриях и представляющая собой величину, обратно пропорциональную фокусному расстоянию в метрах. При значении фокуса 0,5 метра оптическая сила составляет 2 диоптрии. Перевод между миллиметрами фокусного расстояния и диоптриями позволяет быстро согласовать параметры отдельных линз при сборке объективов, телескопов или систем технического зрения.

Формула тонкой линзы и расчет через дистанции до предмета и изображения

Базовый способ определения фокусного расстояния опирается на геометрическую связь между положением освещенного объекта, самой линзой и плоскостью, в которой формируется резкая проекция. Этот метод применяется для тонких линз - оптических элементов, толщина которых вдоль главной оси несопоставимо мала по сравнению с радиусами кривизны их поверхностей и дистанциями до объектов. Математически эта зависимость описывается классической формулой тонкой линзы:

1 / f = 1 / d_o + 1 / d_i

Для прямого вычисления искомого параметра уравнение приводится к разрешенному относительно фокуса виду:

f = (d_o * d_i) / (d_o + d_i)

Точность результата напрямую зависит от корректного измерения двух линейных входных параметров, которые должны быть выражены в одинаковых единицах:

• d_o - расстояние от предмета до оптического центра линзы, измеряемое строго вдоль главной оптической оси.
• d_i - расстояние от оптического центра линзы до плоскости сформированного изображения.

При подстановке чисел в уравнение критическую роль играет оптическое правило знаков. Нарушение конвенции знаков при работе с мнимыми проекциями или рассеивающей оптикой приводит к получению неверного абсолютного значения и ошибочной интерпретации типа линзы. В таблице ниже приведены правила назначения знаков для всех переменных уравнения.

Например, если реальный объект расположен на расстоянии d_o = 300 мм от собирающей линзы, а четкая действительная проекция на экране фиксируется на дистанции d_i = 150 мм по другую сторону, расчет дает положительное значение: f = (300 * 150) / (300 + 150) = 45000 / 450 = 100 мм. Если же при предметном расстоянии d_o = 300 мм формируется мнимое изображение на дистанции 100 мм перед линзой, в формулу подставляется отрицательное значение d_i = -100 мм. В этом случае расчет показывает: f = (300 * -100) / (300 + (-100)) = -30000 / 200 = -150 мм, что однозначно указывает на рассеивающую линзу.

Связь с линейным увеличением

На практике прямое измерение дистанции до изображения не всегда удобно, однако часто бывает известен масштаб проекции. Поперечное линейное увеличение M показывает отношение линейного размера изображения к реальному размеру предмета и выражается через отношение дистанций:

M = d_i / d_o

Это соотношение позволяет заменить одну из неизвестных переменных в формуле тонкой линзы. Если известны дистанция до объекта и коэффициент увеличения, расстояние до изображения выражается как d_i = M * d_o , а расчет фокусного расстояния принимает вид:

f = (M * d_o) / (M + 1)

При использовании этой формулы важно учитывать характер проекции. Для действительного перевернутого изображения при алгебраическом расчете без знаков модуль увеличения M подставляется как положительное число (если d_o и d_i приняты положительными). Если же изображение прямое и мнимое (например, при работе в режиме лупы, когда предмет находится ближе фокуса собирающей линзы), расстояние d_i отрицательно, поэтому M в данной подстановке должно иметь знак минус.

Экспериментальное определение фокуса на оптической скамье и способ Бесселя

При лабораторной проверке немаркированной оптики на оптической скамье прямое измерение отрезков d_o и d_i сопровождается систематической погрешностью. Оптический центр реальной линзы находится внутри стеклянного массива, и точно приложить к нему измерительную шкалу невозможно. Для исключения этой ошибки применяется способ Бесселя, который опирается только на легко измеряемые внешние величины.

Суть метода заключается в следующем: источник света (предмет) и экран жестко фиксируются на оптической скамье на некотором расстоянии L друг от друга, причем эта дистанция должна строго превышать четырехкратное фокусное расстояние исследуемой собирающей линзы ( L > 4f ). Перемещая линзу вдоль направляющей между объектом и экраном, находят два различных положения, при которых на экране формируется идеально резкое изображение:

• В первом положении (ближе к предмету) на экране образуется увеличенная резкая проекция.
• Во втором положении (ближе к экрану) формируется уменьшенная резкая проекция.

Вследствие обратимости световых лучей расстояния d_o и d_i в этих двух точках просто меняются местами. Измерив общую дистанцию L между предметом и экраном ( L = d_o + d_i ) и расстояние e между двумя найденными положениями самой линзы ( e = |d_i - d_o| ), фокусное расстояние вычисляют по формуле Бесселя:

f = (L^2 - e^2) / (4 * L)

Такой подход полностью исключает необходимость искать положение оптического центра или главных плоскостей внутри оправы: для точного расчета достаточно зафиксировать сдвиг каретки с линзой по шкале оптической скамьи. Если при сближении предмета и экрана два положения резкости сливаются в одно ( e = 0 ), система находится в точке минимально возможной дистанции между объектом и его действительным изображением, откуда следует частный случай: f = L / 4 .

Уравнение линзмейкера: определение фокуса по радиусам кривизны и показателю преломления

Когда оптический элемент еще проектируется или нет возможности провести измерения на оптической скамье, фокусное расстояние вычисляют напрямую через геометрию преломляющих поверхностей и физические свойства материала. Для этого применяется уравнение линзмейкера. В приближении тонкой линзы, находящейся в воздушной среде, толщина стекла вдоль оптической оси считается пренебрежимо малой по сравнению с радиусами сферических поверхностей, а расчетная формула имеет вид:

1 / f = (n - 1) * (1 / R1 - 1 / R2)

Если осевая толщина оптического элемента сопоставима с радиусами сферических сегментов, пренебрегать смещением луча внутри самого материала нельзя. В таком случае используется полное уравнение линзмейкера, учитывающее расстояние между вершинами передней и задней поверхностей вдоль главной оптической оси:

1 / f = (n - 1) * (1 / R1 - 1 / R2 + ((n - 1) * d) / (n * R1 * R2))

Для корректного вычисления все линейные величины ( R1 , R2 , d и искомое f ) должны подставляться в одинаковых единицах измерения, обычно в миллиметрах. Входными параметрами в обоих выражениях выступают четыре базовые характеристики:

• n - абсолютный показатель преломления материала линзы для заданной длины волны света (для воздуха показатель принимается равным единице). В классической оптике чаще всего применяются оптические стекла групп крон (обладают меньшим коэффициентом преломления, например условное значение 1,52) и флинт (тяжелые стекла с повышенным показателем преломления, например 1,62 и выше), а также оптические полимеры или кварц.
• R1 - радиус кривизны передней поверхности (первой по ходу распространения светового луча, который стандартно направляют слева направо).
• R2 - радиус кривизны задней поверхности (второй по ходу луча, через которую свет покидает материал).
• d - центральная толщина линзы, измеряемая по оптической оси между вершинами двух преломляющих поверхностей.

Декартова конвенция знаков и конфигурации линз

При подстановке радиусов R1 и R2 в уравнение линзмейкера критическую роль играет выбор знака, который зависит от ориентации сферической поверхности относительно падающего слева направо света. Согласно стандартному координатному правилу, отсчет ведется от вершины поверхности (точки ее пересечения с оптической осью) к геометрическому центру сферы, частью которой является эта грань:

• Радиус кривизны имеет положительное значение ( R > 0 ), если центр сферической поверхности расположен справа от ее вершины (по ходу луча). Для передней грани это означает выпуклую форму, а для задней - вогнутую.
• Радиус кривизны принимает отрицательное значение ( R < 0 ), если центр сферы находится слева от вершины (навстречу падающему лучу). В этом случае передняя поверхность является вогнутой, а задняя - выпуклой.
• Если одна из граней абсолютно плоская, ее радиус кривизны стремится к бесконечности ( R = ∞ ). В математическом выражении дробь 1 / R для такой стороны обращается в ноль.

В зависимости от комбинации знаков и абсолютных величин R1 и R2 формируются шесть классических геометрических профилей линз. Их параметры для материала с показателем преломления больше единицы приведены в сводной таблице:

Примеры расчета для различных конфигураций

Разница в подстановке знаков хорошо видна на конкретных числах. Допустим, требуется найти фокусное расстояние симметричной двояковыпуклой тонкой линзы из оптического стекла типа крон с условным показателем преломления n = 1,5 , у которой оба радиуса кривизны по модулю равны 100 мм. Поскольку первая поверхность обращена выпуклостью к свету, ее центр сферы лежит справа: R1 = +100 мм . Вторая поверхность также выпуклая наружу, поэтому ее центр сферы находится слева: R2 = -100 мм . Подстановка в формулу тонкой линзы дает:

1 / f = (1,5 - 1) * (1 / 100 - 1 / (-100)) = 0,5 * (0,01 + 0,01) = 0,01 мм⁻¹

Отсюда фокусное расстояние составляет f = +100 мм . Обратите внимание на распространенную ошибку: если подставить оба радиуса с положительным знаком ( R1 = 100 мм и R2 = 100 мм ), выражение (1 / 100 - 1 / 100) обнулится. Физически равенство двух положительных радиусов описывает не двояковыпуклую линзу, а изогнутую пластину (мениск) одинаковой кривизны, которая в приближении нулевой толщины вообще не преломляет фокус.

Если же эта двояковыпуклая линза имеет существенную осевую толщину, например d = 20 мм , расчет выполняется по полной формуле линзмейкера:

1 / f = (1,5 - 1) * (1 / 100 - 1 / (-100) + ((1,5 - 1) * 20) / (1,5 * 100 * (-100)))

1 / f = 0,5 * (0,02 + 10 / (-15000)) = 0,5 * (0,02 - 0,000667) = 0,009667 мм⁻¹

С учетом толщины стекла результирующее фокусное расстояние увеличивается до f ≈ 103,45 мм . Для плоско-выпуклой линзы из тяжелого флинта с условным показателем n = 1,65 , где свет сначала падает на плоскую грань ( R1 = ∞ ), а выходит через выпуклую с радиусом 65 мм ( R2 = -65 мм ), слагаемое с толщиной и первым радиусом исчезает, так как деление на бесконечность дает ноль:

1 / f = (1,65 - 1) * (0 - 1 / (-65)) = 0,65 * (1 / 65) = 0,01 мм⁻¹

В результате такая плоско-выпуклая конфигурация также обеспечивает фокусное расстояние f = +100 мм при обработке всего одной сферической поверхности вместо двух.

Связь фокусного расстояния с оптической силой и параметры сложных систем линз

В технической документации на офтальмологическую оптику, макролинзы и вспомогательные насадки преломляющая способность часто указывается через оптическую силу D , выраженную в диоптриях (дптр, или м⁻¹). Математически оптическая сила обратно пропорциональна фокусному расстоянию, выраженному в метрах:

f = 1 / D

Поскольку в прикладной оптике и приборостроении линейные габариты принято измерять в миллиметрах, для прямого перевода диоптрий в миллиметры используется коэффициент 1000:

f = 1000 / D

Знак оптической силы напрямую наследует знак фокуса. Положительное значение (например, +4 дптр ) указывает на собирающий элемент с фокусным расстоянием f = 1000 / 4 = +250 мм (или 0,25 м ). Отрицательная величина (например, -2,5 дптр ) соответствует рассеивающему компоненту с мнимым фокусом на отметке f = 1000 / (-2,5) = -400 мм . Использование диоптрий упрощает оценку сходимости лучей в составных конструкциях, где преломляющие способности отдельных элементов складываются алгебраически.

Расчет систем из двух линз и ахроматов

Когда оптическая схема состоит из нескольких компонентов, расположенных вдоль общей оси, их индивидуальные преломляющие свойства формируют общее значение EFL. Порядок вычисления зависит от взаимного расположения элементов.

Если две тонкие линзы с известными фокусными расстояниями f1 и f2 установлены вплотную друг к другу (воздушный промежуток между ними равен нулю), их оптические силы суммируются напрямую:

1 / f = 1 / f1 + 1 / f2

В разрешенном относительно итогового фокуса виде формула записывается так:

f = (f1 * f2) / (f1 + f2)

Такой расчет применяется при проектировании склеенных двухлинзовых компонентов - например, ахроматов (ахроматических дублетов). В классическом ахромате сильная собирающая линза из крона компонуется со слабой рассеивающей линзой из флинта для взаимной компенсации хроматической аберрации. Если взять собирающий элемент с f1 = +80 мм и соединить его вплотную с рассеивающим элементом f2 = -160 мм , результирующее значение составит:

1 / f = 1 / 80 + 1 / (-160) = 0,0125 - 0,00625 = 0,00625 мм⁻¹

Общий фокус такого склеенного дублета равен f = 1 / 0,00625 = +160 мм (оптическая сила снизилась с +12,5 дптр до +6,25 дптр ).

Если же две тонкие линзы разнесены вдоль оптической оси на расстояние d , простое сложение оптических сил дает ошибку. В формулу вводится поправочный член, учитывающий изменение высоты луча при прохождении промежутка между компонентами:

1 / f = 1 / f1 + 1 / f2 - d / (f1 * f2)

Выражение для прямого нахождения эквивалентного фокуса разнесенной двухлинзовой системы принимает вид:

f = (f1 * f2) / (f1 + f2 - d)

Изменение дистанции d кардинально меняет характер работы одних и тех же стекол. Если две одинаковые собирающие линзы с f1 = +100 мм и f2 = +100 мм раздвинуть на расстояние d = 50 мм , расчет даст:

1 / f = 1 / 100 + 1 / 100 - 50 / (100 * 100) = 0,02 - 0,005 = 0,015 мм⁻¹

Результирующий фокус составит f ≈ +66,67 мм . Если же увеличить зазор между этими линзами до d = 200 мм (то есть до суммы их фокусных расстояний f1 + f2 ), знаменатель обратится в ноль, оптическая сила станет равной 0 дптр , а фокус уйдет в бесконечность. Такая конфигурация образует афокальную (телескопическую) систему, в которой падающий параллельный пучок света выходит из второй линзы также параллельным.

Разграничение базовых и габаритных параметров сложных систем

Для одиночной тонкой линзы все отсчеты ведутся от единого оптического центра. В сложных многолинзовых объективах и толстых оптических компонентах единого физического центра не существует - преломление моделируется относительно двух расчетных плоскостей: передней и задней главных плоскостей, пересечение которых с осью дает главные точки системы. В связи с этим при конструировании и установке оптики строго разграничивают несколько фокальных и монтажных отрезков.

Причина строгого разделения EFL и BFL заключается в том, что главные точки сложной системы часто смещаются внутрь оправы или вовсе выходят за пределы крайних линз:

• В длиннофокусных двухкомпонентных схемах (собирающая группа спереди, рассеивающая сзади) задняя главная точка выносится вперед, перед первой линзой. В результате физическая длина устройства и его BFL оказываются заметно меньше расчетного EFL.
• В ретрофокусных (обратных телеобъективных) конструкциях, где впереди стоит рассеивающий элемент, а сзади собирающий, задняя главная точка смещается назад. За счет этого BFL становится больше, чем EFL, что оставляет физическое пространство между задней линзой и фокальной плоскостью для размещения светоделительных призм, затворов, защитных фильтров или зеркал при коротком эффективном фокусе.
• Рабочее расстояние фланца жестко привязано к конструкции посадочного узла. Если BFL измеряется от стеклянной вершины последней линзы, которая может быть утоплена в корпус или выступать за его пределы, то фланцевый отрезок отсчитывается исключительно от металлического опорного торца крепления до плоскости фокусировки.

Вычисление фокусного расстояния для сферических зеркал и параболических рефлекторов

В отражающих оптических системах формирование пучка лучей происходит за счет закона отражения, а не преломления. Поэтому расчет фокусного расстояния таких элементов зависит исключительно от геометрии отражающей поверхности и взаимного расположения источника и изображения, не требуя учета показателя преломления материала.

Сферические зеркала: связь с радиусом кривизны и дистанциями

Рабочая поверхность сферического зеркала представляет собой сегмент сферы определенного радиуса. В параксиальном приближении (для лучей, идущих вблизи главной оптической оси под малыми углами) фокусное расстояние сферического зеркала равно половине его радиуса кривизны:

f = R / 2

При подстановке исходных данных и интерпретации полученного результата учитывается профиль отражающей поверхности:

• Вогнутое сферическое зеркало работает как собирающая система. Его центр кривизны и фокус располагаются перед отражающей поверхностью (в области реального хода отраженных лучей), поэтому радиус кривизны R и фокусное расстояние f принимают положительные значения (f > 0).
• Выпуклое сферическое зеркало рассеивает падающий пучок света. Отраженные лучи расходятся, а их продолжения пересекаются за зеркалом, где находятся мнимый фокус и центр кривизны. Для таких систем R и f записываются со знаком минус (f < 0).

Если радиус кривизны неизвестен, определение фокуса выполняется через дистанцию от вершины зеркала до объекта (d_o) и дистанцию от вершины до сформированного изображения (d_i). Математическая зависимость описывается зеркальным уравнением:

1 / f = 1 / d_o + 1 / d_i

Объединение двух выражений дает полное уравнение сферического зеркала, связывающее пространственные координаты с геометрией сферы:

1 / d_o + 1 / d_i = 2 / R

В отличие от преломляющих систем, для зеркал действительной считается область перед отражающей поверхностью, куда возвращается свет. Распределение знаков для параметров зеркального уравнения приведено в таблице:

Для прямого вычисления фокусного расстояния без промежуточного сложения дробей зеркальное уравнение преобразуется к виду:

f = (d_o * d_i) / (d_o + d_i)

Например, если перед вогнутым зеркалом на расстоянии d_o = 600 мм размещен источник света, а четкое действительное изображение на экране формируется на дистанции d_i = 300 мм перед зеркалом, расчет дает f = (600 * 300) / (600 + 300) = 180000 / 900 = 200 мм. Соответственно, радиус кривизны такой сферы составляет R = 2 * 200 = 400 мм.

Если же предмет находится на расстоянии d_o = 300 мм перед выпуклым зеркалом, и наблюдатель фиксирует мнимое изображение на глубине 100 мм за его поверхностью (d_i = -100 мм), подстановка значений со своими знаками покажет: f = (300 * (-100)) / (300 + (-100)) = -30000 / 200 = -150 мм.

Параболические рефлекторы: расчет по диаметру и глубине

Широкоапертурные сферические зеркала не способны собрать широкий параллельный пучок лучей в одну точку из-за сферической аберрации: лучи, отраженные от краев сферы, пересекают оптическую ось ближе к вершине, чем центральные лучи. Для точной фокусировки параллельного потока излучения (от удаленных астрономических объектов, спутников или точечного излучателя в прожекторе) применяются параболические рефлекторы, поверхность которых образована вращением параболы вокруг своей оси.

Фокусное расстояние параболического отражателя (расстояние от геометрической вершины на дне чаши до фокальной точки) вычисляется через его линейные габариты - апертурный диаметр и глубину:

f = D^2 / (16 * c)

Точность расчета зависит от правильного снятия двух входных геометрических параметров рефлектора:

• D - внутренний рабочий диаметр рефлектора, измеряемый по внешнему краю отражающей чаши строго между противоположными точками рабочего профиля (без учета технологических отбортовок, крепежных фланцев или защитных кромок).
• c - глубина параболы (стрелка прогиба), представляющая собой перпендикулярное расстояние от плоскости переднего среза (плоскости измерения диаметра D) до самой глубокой центральной точки (вершины) на дне рефлектора.

Все линейные величины перед подстановкой в формулу приводятся к единой размерности (например, миллиметрам или сантиметрам). Геометрическое соотношение глубины и диаметра определяет расположение фокальной точки относительно переднего края чаши:

• Мелкофокусные (глубокие) рефлекторы: при c > D / 4 фокусное расстояние оказывается меньше глубины чаши (f < c), то есть фокальная точка скрыта внутри объема отражателя.
• Критическое сечение (фокус в плоскости раскрыва): когда глубина ровно в четыре раза меньше диаметра (c = D / 4), расчетное значение фокуса совпадает с глубиной (f = c), и точка фокусировки лежит непосредственно в плоскости переднего среза рефлектора.
• Длиннофокусные (пологие) рефлекторы: при малой глубине профиля (c < D / 4) фокусное расстояние превышает глубину чаши (f > c), вынося точку концентрации энергии за пределы геометрического объема рефлектора.

Такой расчет применяется при юстировке прямофокусных параболических антенн, проектировании солнечных концентраторов, настройке осветительных рефлекторов и изготовлении главных зеркал телескопов-рефлекторов. Например, при наличии параболической чаши диаметром D = 1200 мм и глубиной профиля c = 150 мм вычисление определяет точное положение фокуса: f = 1200^2 / (16 * 150) = 1440000 / 2400 = 600 мм. Следовательно, приемный облучатель или вторичное зеркало необходимо зафиксировать на главной оси на расстоянии 600 мм от центральной вершины рефлектора (что на 450 мм выше плоскости его переднего среза). Для оптического зеркала телескопа диаметром D = 200 мм со стрелкой прогиба c = 2,5 мм аналогичная операция дает f = 200^2 / (16 * 2,5) = 40000 / 40 = 1000 мм.

Расчет фокусного расстояния объектива по размеру матрицы и углу обзора

В проекционных и съемочных системах, формирующих изображение на плоском светочувствительном приемнике, фокусное расстояние объектива напрямую связано с линейными габаритами сенсора и охватываемым пространством. При фокусировке на бесконечность (или на дистанции, многократно превышающие сам фокус) лучи от крайних точек снимаемой сцены проходят через узловую точку объектива и проецируются на края матрицы, образуя два подобных прямоугольных треугольника по обе стороны от оптического центра.

Тригонометрическая формула через угол обзора и габариты сенсора

Геометрическая зависимость между фокусным расстоянием (f), физическим размером матрицы (s) и углом обзора в градусах (FOV) описывается через тангенс половинного угла:

f = (s / 2) / tan(FOV / 2)

Поскольку матрица имеет прямоугольную форму, расчет всегда выполняется строго для одной выбранной плоскости - подставляемый размер сенсора должен соответствовать направлению измеряемого угла:

• Горизонтальная плоскость: для поиска фокуса через HFOV в качестве переменной s подставляется физическая ширина активной области матрицы в миллиметрах.
• Вертикальная плоскость: при расчете по вертикальному углу используется физическая высота сенсора.
• Диагональная плоскость: для вычисления по диагональному углу в формулу закладывается длина диагонали кадра, рассчитываемая по теореме Пифагора из ширины и высоты матрицы.

В технической документации матриц камер формат сенсора часто указывается в видиконовских дюймах (например, 1/2.8", 1/3", 2/3", 1"). Это историческое обозначение внешнего диаметра телевизионных трубок не равно реальному физическому дюйму (25,4 мм): один видиконовский дюйм соответствует диагонали матрицы около 16 мм. Перед подстановкой в тригонометрическую формулу условный калибр в видиконовских дюймах необходимо перевести в точные миллиметры ширины, высоты или диагонали кадра.

Для типовых форматов матриц при фиксированном горизонтальном угле HFOV = 60° (где tan(30°) ≈ 0,57735) расчетное фокусное расстояние принимает следующие значения:

Пропорциональный расчет через дистанцию до объекта и линейное поле зрения

Если угол в градусах неизвестен, но заданы расстояние от камеры до плоскости съемки и требуемые габариты охватываемой зоны в метрах или миллиметрах, вычисление выполняется через подобие треугольников без использования тригонометрических функций. Отношение фокусного расстояния к размеру матрицы равно отношению дистанции съемки к линейному размеру поля зрения:

f = (s * L) / W

В этом выражении используются четыре линейных параметра:

• f - искомое фокусное расстояние объектива (мм).
• s - ширина или высота матрицы (мм).
• L - рабочая дистанция от передней главной плоскости объектива до объекта (м или мм).
• W - линейный размер поля зрения в плоскости цели (ширина или высота кадра на объекте в тех же единицах измерения, что и дистанция L).

При вычислении важно соблюдать соосность и размерность переменных: если в числитель подставляется ширина матрицы в миллиметрах, то в знаменателе должна стоять именно ширина охватываемой зоны, а отношение L / W должно быть безразмерным (обе величины переводятся в метры либо в миллиметры). Например, если с помощью матрицы шириной s = 6,4 мм требуется захватить участок шириной W = 8 м с расстояния L = 20 м, необходимый фокус составит: f = (6,4 * 20) / 8 = 16 мм.

Влияние кроп-фактора и эквивалентное фокусное расстояние

Угол обзора зависит от связки объектива и сенсора: один и тот же объектив на матрицах разного физического размера формирует разный охват пространства. Для стандартизации расчетов и сравнения оптики на разных системах применяется понятие кроп-фактора (K _f ), который показывает отношение диагонали эталонного полного кадра (24×36 мм, диагональ 43,27 мм) к диагонали используемой матрицы:

K f = 43,27 / d s

Через этот безразмерный коэффициент реальное физическое фокусное расстояние пересчитывается в эквивалентное относительно полного кадра:

f eq = f * K f

Кроп-фактор не изменяет физическое фокусное расстояние самого оптического блока - оно остается константой конструкции линз. Коэффициент лишь показывает, объектив с каким фокусом нужно установить на камеру с матрицей 24×36 мм, чтобы получить точно такой же диагональный FOV. Например, для сенсора с диагональю 8 мм кроп-фактор равен 43,27 / 8 ≈ 5,41. Установка на такую матрицу объектива с реальным фокусом f = 10 мм обеспечит такой же угол зрения, какой на полном кадре дает оптика с фокусом f _eq = 10 * 5,41 = 54,1 мм. При обратном проектировании, когда известен желаемый эквивалентный фокус под формат 24×36 мм, реальное фокусное расстояние для меньшего сенсора находится делением: f = f _eq / K _f .

Практические сценарии применения и интерпретация расчетных значений

Вычисленный параметр f в миллиметрах редко совпадает с шагом заводских номиналов оптики. На практике полученное расчетное значение интерпретируют с учетом соотношения к диагонали используемой матрицы (d _s ), требований к освещенности кадра и разрешающей способности цифрового сенсора.

Классификация фото- и видеооптики по отношению к размеру кадра

Принадлежность объектива к определенному классу по углу зрения определяется не абсолютным числом миллиметров, а отношением расчетного фокуса к диагонали приемника излучения. Один и тот же оптический блок с f = 16 мм на матрице с диагональю 8 мм работает как узкоугольный объектив, а на полном кадре (d _s = 43,27 мм) - как сверхширокоугольный.

В следующей таблице приведено разделение объективов на функциональные группы по соотношению их фокусного расстояния и диагонали сенсора:

При выборе конкретной модели под полученное расчетное значение учитывают конструктивное исполнение оптического блока:

• Монофокальные объективы имеют фиксированное фокусное расстояние. Если по условиям задачи вычислено значение f = 11,2 мм, выбирают ближайший серийный номинал (8 мм или 12 мм). Меньший номинал гарантирует попадание всей зоны контроля в кадр с запасом по краям, но снижает масштаб объекта; больший номинал увеличивает детализацию в центре, обрезая периферию.
• Вариофокальные объективы позволяют изменять фокусное расстояние в заданном диапазоне (например, 2,8-12 мм или 24-70 мм). Такой вариант применяют, когда точная дистанция до цели заранее неизвестна или требуется точная подгонка границ кадра непосредственно на месте монтажа.

Связь со светосилой, апертурой и расчет камеры-обскуры

Фокусное расстояние напрямую определяет количество света, доходящего до плоскости матрицы, при заданном диаметре входного зрачка (физической или эффективной апертуры D _a ). Отношение этих величин задает диафрагменное число (F-число, N):

N = f / D a

Величина 1 / N (часто записываемая как f/N) характеризует относительное отверстие, а ее квадрат определяет геометрическую светосилу системы. При увеличении фокусного расстояния для сохранения прежней светосилы требуется пропорционально увеличивать диаметр линз. Например, чтобы получить F-число N = 2 при фокусе f = 50 мм, диаметр входного зрачка должен составлять D _a = 50 / 2 = 25 мм. Для длиннофокусного объектива с f = 200 мм при том же относительном отверстии потребуется апертура диаметром 200 / 2 = 100 мм, что существенно увеличивает габариты и массу оптического прибора.

Отдельным практическим случаем является проектирование безлинзового объектива - пинхола (камеры-обскуры), где роль фокусного расстояния выполняет дистанция от точечного отверстия до светочувствительного материала или сенсора. При слишком большом отверстии изображение размывается из-за геометрического наложения световых пучков, а при слишком узком - теряет резкость вследствие дифракции света на краях преграды. Оптимальный диаметр отверстия пинхола (d _p ) рассчитывается через выбранное фокусное расстояние и длину волны света (λ) по формуле Рэлея:

d p = 1,9 * √(f * λ)

При расчете для видимого спектра обычно принимают длину волны зеленого света λ = 0,00055 мм (550 нм). Если расстояние от передней стенки камеры-обскуры до матрицы задано равным f = 50 мм, оптимальный диаметр прокола составит d _p = 1,9 * √(50 * 0,00055) ≈ 0,315 мм. Текущее F-число такой системы равно 50 / 0,315 ≈ 159, что требует длительных выдержек при экспонировании.

Подбор оптики для систем видеонаблюдения и тепловизоров

В задачах охранного телевидения, машинного зрения и термографии недостаточно просто поместить объект в границы кадра - требуется обеспечить заданную детализацию цели на матрице с учетом ее пиксельной структуры. Для этого расчет фокусного расстояния связывают с требуемой плотностью пикселей на единицу длины объекта или с геометрическим разрешением отдельного пикселя.

Расчет через плотность пикселей PPM

Параметр PPM показывает, сколько пикселей изображения приходится на один метр ширины реального объекта на рабочей дистанции L. Чем выше значение PPM, тем более мелкие детали (черты лица, символы номерного знака) можно различить на записи. При известном горизонтальном разрешении сенсора в пикселях (R _h ) и ширине матрицы в миллиметрах (w _s ) линейная ширина зоны обзора на дистанции L выражается как W = R _h / PPM. Подстановка этого отношения в базовую пропорцию дает формулу подбора фокусного расстояния под целевую плотность пикселей:

f = (w s * L * PPM) / R h

Последовательность расчета для проектирования точки видеоконтроля выглядит следующим образом:

• Задаются параметры камеры: ширина матрицы w _s = 5,18 мм, горизонтальное разрешение R _h = 1920 пикселей.
• Определяется дистанция наблюдения L = 30 м и нормативное требование к детализации для задачи идентификации личности: PPM = 250 пикселей на метр.
• Вычисляется необходимый фокус: f = (5,18 * 30 * 250) / 1920 ≈ 20,23 мм. Для выполнения условия на камеру устанавливают объектив с фокусом не менее 20 мм.

Расчет через шаг пикселя и IFOV для тепловизионных систем

В тепловизорах и камерах технического зрения оперируют физическим размером (шагом) одного пикселя матрицы (p, обычно указывается в микрометрах, 1 мкм = 0,001 мм) и угловым разрешением одного элемента - IFOV, измеряемым в миллирадианах (мрад). Величина IFOV показывает, какой минимальный угол пространства проецируется на один чувствительный элемент болометра или фотодиода:

IFOV = p / f

При подстановке шага пикселя в микрометрах и фокусного расстояния в миллиметрах результат сразу получается в миллирадианах. Произведение IFOV на дистанцию L в метрах дает проекцию одного пикселя на плоскость цели в миллиметрах (пространственное разрешение Δx). Чтобы гарантированно обнаружить теплоконтрастный объект габаритом S _obj или распознать его тип, на его линейный размер должно укладываться заданное число пикселей (N _pix , определяемое по критериям Джонсона). Отсюда требуемое фокусное расстояние германиевого или халькогенидного объектива вычисляется напрямую:

f = (p * L * N pix ) / S obj

В этой формуле при подстановке p в микрометрах, L в метрах и S _obj в миллиметрах результат f выражается в миллиметрах. Например, требуется обнаружить объект шириной S _obj = 500 мм на дистанции L = 400 м с помощью тепловизионной матрицы с шагом пикселя p = 17 мкм, при этом для достоверного обнаружения цель должна перекрывать минимум N _pix = 2 пикселя. Расчет дает: f = (17 * 400 * 2) / 500 = 27,2 мм. Установка объектива с более коротким фокусом (например, 19 мм) приведет к тому, что проекция цели на матрицу окажется меньше двух пикселей, и тепловая сигнатура сольется с фоновым шумом на данной дистанции.