Нагрузка на растягиваемый элемент по заданным параметрам

Нагрузка на растягиваемый элемент по заданным параметрам определяет величину продольной силы, которая действует вдоль оси стержня, бруса, троса или крепежной детали и стремится увеличить их первоначальную длину. Расчет позволяет вычислить точную силу растяжения на основе геометрии поперечного сечения, механического напряжения или зафиксированной упругой деформации детали. Эти вычисления необходимы при проверке несущей способности конструктивных узлов и подборе сечений деталей, работающих под действием осевых усилий. Результатом операции является числовое значение растягивающей силы в стандартных инженерных единицах измерения, таких как Н, кН или кгс.

В сопротивлении материалов под центральным растяжением понимают такой вид нагружения, при котором равнодействующая всех внешних сил направлена строго вдоль продольной оси прямолинейного бруса и проходит через центр тяжести его поперечного сечения. В ответ на приложенную внешнюю нагрузку внутри материала возникают внутренние продольные усилия, равномерно распределенные по всей площади сечения.

Величина растягивающей нагрузки напрямую связана с двумя группами исходных данных: геометрическими размерами детали и физико-механическими свойствами выбранного материала. Если в качестве входных параметров заданы рабочее или допускаемое нормальное напряжение и площадь поперечного сечения, расчет сводится к перемножению этих величин. Когда известны первоначальная длина элемента, его абсолютное удлинение под нагрузкой и модуль продольной упругости материала (модуль Юнга), осевое усилие вычисляется через закон Гука. Такой подход дает возможность находить как фактическую силу, вызвавшую известную деформацию, так и предельную безопасную нагрузку, которую выдержит деталь без пластического разрушения или разрыва.

Физическая сущность и базовые формулы расчёта силы растяжения

Математический аппарат для нахождения растягивающей нагрузки опирается на условие статического равновесия деформируемого тела. Когда к торцам стержня прикладывается внешняя сила F, стремящаяся увеличить его длину, кристаллическая решётка или межмолекулярные связи материала препятствуют разрыву. Для количественной оценки этого сопротивления применяется метод сечений.

Суть метода сечений заключается в мысленном рассечении нагруженного элемента плоскостью, перпендикулярной его продольной оси, и отбрасывании одной из частей. Чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, действие отброшенного фрагмента заменяют внутренним усилием - продольной (нормальной) силой N. При простом растяжении стержня двумя равными противоположно направленными внешними нагрузками величина внутренней продольной силы в любом поперечном сечении численно равна внешней растягивающей силе: N = F. Для растягивающих усилий в инженерной практике принято правило знаков, согласно которому сила N считается положительной.

Вычисление силы через нормальное напряжение и площадь

Интенсивность внутренних сил, приходящаяся на единицу площади сечения, характеризуется нормальным напряжением σ, направленным перпендикулярно плоскости разреза. Согласно гипотезе плоских сечений Бернулли, поперечные сечения стержня, плоские до приложения нагрузки, остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси после деформации. Из этого следует, что нормальные напряжения распределены по площади сечения A равномерно.

Базовая формула для прямого расчёта силы растяжения по известному напряжению и геометрической площади выглядит следующим образом:

F = σ × A

Данное соотношение применимо на всех участках стержня, находящихся на достаточном удалении от точек непосредственного приложения внешних сосредоточенных нагрузок (в соответствии с принципом Сен-Венана). Входными параметрами операции выступают заданное механическое напряжение и площадь поперечного сечения, а результатом становится полная осевая нагрузка, воспринимаемая элементом.

Расчёт силы растяжения по закону Гука через деформацию

В пределах упругой работы материала удлинение стержня прямо пропорционально приложенной осевой нагрузке. Эта физическая зависимость описывается законом Гука при растяжении и даёт возможность вычислить действующую силу по зафиксированным геометрическим изменениям детали.

Если стержень с первоначальной длиной l₀ под действием растягивающей нагрузки получил абсолютное удлинение Δl (разность между конечной и начальной длиной), мерой искажения его формы в продольном направлении служит безразмерная величина - относительная продольная деформация ε:

ε = Δl / l₀

Связь между нормальным напряжением и относительной деформацией устанавливается через физическую константу материала - модуль продольной упругости (модуль Юнга) E по выражению σ = E × ε. Подстановка этого равенства в базовую формулу усилия формирует расчётную зависимость для определения силы растяжения через параметры деформации:

F = (E × A × Δl) / l₀

В структуре этой формулы выделяют комплексную характеристику EA, которая называется жёсткостью поперечного сечения при растяжении. Жёсткость EA равна произведению модуля упругости материала на площадь сечения и показывает, какая сила способна вызвать единичную относительную деформацию бруса. Чем выше показатель EA, тем большее усилие требуется приложить к детали для достижения заданного удлинения Δl.

Сводная таблица расчётных зависимостей и переменных

Выбор математической модели зависит от того, какие параметры известны до начала вычислений: напряжённое состояние сечения или фактическая упругая деформация элемента.

При использовании формул на основе закона Гука необходимо учитывать физическое ограничение: линейная зависимость между силой F и удлинением Δl сохраняется только до тех пор, пока напряжение в сечении не превысит предел пропорциональности материала. При переходе материала в стадию пластического течения деформация начинает расти без пропорционального увеличения нагрузки, и расчёт усилия через модуль продольной упругости E даёт некорректный завышенный результат.

Исходные параметры: геометрия сечения и характеристики материалов

Точность вычисления осевого усилия напрямую зависит от корректности геометрических размеров детали и выбора справочных физико-механических констант. При решении инженерных задач площадь поперечного сечения A и свойства материала определяют способность конструктивного элемента сопротивляться как упругому удлинению, так и полному разрушению.

Определение площади поперечного сечения для типовых профилей

В расчётные формулы подставляется площадь сечения A, расположенного строго перпендикулярно продольной оси растягиваемого стержня. Если геометрия элемента в таблицах сортамента не задана готовым значением площади, её вычисляют по линейным размерам профиля. При наличии сквозных отверстий, проточек или выемок в расчёт принимается площадь нетто - то есть фактическая площадь в самом ослабленном месте за вычетом пустот.

Для стандартных форм поперечного сечения расчёт площади A выполняется по следующим геометрическим формулам:

Механические характеристики материалов при растяжении

Поведение стержня под нагрузкой определяется набором справочных характеристик, которые получают в ходе лабораторных испытаний образцов на растяжение. Одни параметры отвечают за жёсткость и деформативность в рабочем режиме, другие задают граничные напряжения, при которых материал теряет исходную форму или разрушается.

• Модуль Юнга (E) характеризует сопротивление материала упругой деформации при продольном нагружении. Чем выше значение E, тем меньшее удлинение Δl получит стержень при одной и той же силе F и площади A.
• Коэффициент Пуассона (μ или ν) определяет отношение относительного поперечного сужения стержня к его относительному продольному удлинению в упругой зоне. При растяжении длина элемента увеличивается, а его поперечные размеры (диаметр или ширина) пропорционально уменьшаются.
• Предел пропорциональности (σпц) представляет собой максимальное нормальное напряжение, до которого сохраняется строго линейная зависимость между нагрузкой и деформацией. Это верхняя граница применимости расчётных формул, основанных на законе Гука.
• Предел упругости (σуп) соответствует наибольшему напряжению, при котором после полного снятия растягивающей силы F стержень возвращается к первоначальной длине l₀ без измеримых остаточных деформаций. В практических расчётах численные значения σпц и σуп для большинства конструкционных металлов практически совпадают.
• Физический предел текучести (σт) - это напряжение, при котором деформация стержня продолжает расти без заметного увеличения внешней растягивающей силы. На графике испытаний этот процесс отражается в виде горизонтальной площадки текучести.
• Условный предел текучести (σ0,2) используется для материалов, не имеющих выраженной площадки текучести. Он соответствует напряжению, после снятия которого в стержне сохраняется остаточная пластическая деформация, равная 0,2 % от расчётной начальной длины l₀.
• Предел прочности на растяжение, также называемый временным сопротивлением (σв), определяет условное напряжение, соответствующее максимальной силе Fmax, которую образец выдерживает перед разрушением, отнесённой к первоначальной площади сечения A. Напряжение разрыва отличается от временного сопротивления тем, что вычисляется с учётом фактической уменьшенной площади сечения в самый момент разделения образца на части.

Различия в поведении пластичных и хрупких материалов на диаграмме растяжения

Характер деформирования и механизм разрушения при осевом растяжении зависят от структурных свойств выбранного сплава или материала. Анализ диаграммы растяжения позволяет определить, какой именно предел - текучести или прочности - является определяющим при вычислении граничной растягивающей нагрузки.

Малоуглеродистая конструкционная сталь демонстрирует классическое поведение пластичного материала с чётко выраженной площадкой текучести. После преодоления предела упругости в металле начинается сдвиговая пластическая деформация. Когда она охватывает весь объём стержня, наступает стадия деформационного упрочнения: материал снова начинает сопротивляться росту нагрузки вплоть до достижения временного сопротивления σв. В момент достижения максимальной силы равномерное удлинение прекращается, и в наиболее слабом месте стержня возникает локальное поперечное сужение - образуется так называемая шейка. Площадь сечения в зоне шейки стремительно падает, поэтому для продолжения растяжения требуется уже меньшая внешняя сила F, хотя истинное напряжение в самом сужении продолжает расти вплоть до окончательного разрыва.

Аустенитная нержавеющая сталь, деформируемые алюминиевые сплавы и отожжённая латунь также относятся к пластичным материалам, но на их диаграммах растяжения горизонтальная площадка текучести отсутствует. Переход из упругой зоны в пластическую происходит плавно, поэтому для расчёта предельных нагрузок здесь применяют условный предел текучести σ0,2. Перед разрушением такие сплавы также дают значительное удлинение и формируют выраженное местное сужение сечения.

Хрупкие материалы (серый чугун, инструментальные высокоуглеродистые стали после закалки, стекло, керамика, бетон) ведут себя принципиально иначе. У них отсутствует стадия заметного пластического течения, а зависимость между силой и удлинением остаётся близкой к линейной почти до самого момента разрушения. Разрыв хрупкого стержня происходит внезапно при достижении предела прочности σв, без предварительного образования шейки и без существенного поперечного сужения. По этой причине предельную растягивающую силу для пластичных материалов ограничивают по наступлению текучести (σт или σ0,2), а для хрупких - непосредственно по временному сопротивлению на разрыв (σв).

Определение допускаемой нагрузки и проверка условия прочности

Эксплуатация деталей машин и строительных конструкций при напряжениях, достигающих предела текучести или временного сопротивления, недопустима. Любое случайное превышение внешней нагрузки, скрытый дефект проката или неточность расчётной схемы приведут к появлению необратимых пластических деформаций либо к внезапному разрушению узла. Чтобы гарантировать безотказную работу стержня в строго упругой зоне, предельное опасное напряжение материала уменьшают в несколько раз, вводя в расчёт понятие допускаемого напряжения [σ].

Коэффициент запаса прочности и допускаемое напряжение

Переход от критических справочных характеристик материала к безопасному уровню рабочих напряжений выполняется через нормативный коэффициент запаса прочности n (всегда строго больше единицы). Выбор базовой характеристики зависит от характера разрушения материала, описанного выше:

• Для пластичных материалов за предельное состояние принимают начало необратимого течения, поэтому допускаемое напряжение вычисляют по формуле [σ] = σт / n или [σ] = σ0,2 / n.
• Для хрупких материалов, не имеющих площадки текучести, расчёт ведут непосредственно от предела прочности на разрыв по зависимости [σ] = σв / nв.

Величина запаса прочности для хрупких материалов назначается существенно выше, чем для пластичных, поскольку хрупкое разрушение происходит мгновенно и без предварительных видимых деформаций, сигнализирующих о перегрузке. Конкретное численное значение коэффициента n выбирают на основании отраслевых норм проектирования с учётом ответственности конструкции, однородности структуры материала, точности определения внешних нагрузок и условий окружающей среды.

Условие прочности и максимальная безопасная сила растяжения

Безопасная работа растягиваемого элемента обеспечивается тогда, когда максимальное расчётное нормальное напряжение в его наиболее нагруженном (опасном) поперечном сечении не превышает установленного допускаемого уровня. Математически условие прочности при центральном растяжении записывается в виде неравенства:

σ = N / A ≤ [σ]

Если стержень имеет постоянное поперечное сечение и нагружен вдоль оси внешней растягивающей силой F, внутреннее усилие N численно равно этой силе. Подстановка и преобразование базового неравенства позволяют выразить допускаемую растягивающую нагрузку [F] - максимальную безопасную силу, которую способен воспринять данный конструктивный элемент без риска потери несущей способности:

[F] = [σ] × A

Для ступенчатого бруса или детали с локальными ослаблениями (например, отверстиями, проточками, выточками) в эту формулу подставляют минимальную площадь поперечного сечения Аmin (площадь нетто), так как именно в самом узком месте действующие напряжения достигают пиковых значений.

Виды инженерных расчётов на прочность

В зависимости от того, какие параметры заданы изначально, а какие требуется найти, формулу условия прочности используют в трёх прикладных направлениях, представленных в сравнительной таблице:

При выполнении проектировочного расчёта полученную минимальную площадь A используют для вычисления геометрических размеров профиля, после чего найденный диаметр или ширину округляют в большую сторону до ближайшего стандартного значения по сортаменту. Небольшое превышение рабочего напряжения над допускаемым [σ] (как правило, в пределах 3-5 процентов) в инженерной практике часто признаётся приемлемым и не требует перехода на следующий, более массивный типоразмер проката, если это не противоречит жёстким регламентам безопасности.

Расчёт на жёсткость по допустимому удлинению

Выполнение условия прочности гарантирует целостность детали, но не всегда обеспечивает нормальную работу всего механизма. Длинные стержни из высокопрочных материалов способны без разрушения выдерживать большие напряжения, однако возникающее при этом упругое удлинение Δl может нарушить точность сопряжения деталей, вызвать перекос рамы или провисание конструкции. В таких случаях наряду с проверкой по напряжениям выполняют расчёт на жёсткость.

Условие жёсткости ограничивает расчётное абсолютное удлинение стержня заранее заданной предельной величиной [Δl], определяемой технологическими или конструктивными требованиями к узлу:

Δl = (F × l₀) / (E × A) ≤ [Δl]

Если предельная деформация лимитирует работу конструкции сильнее, чем прочностные свойства материала, максимальную безопасную растягивающую нагрузку определяют именно из условия жёсткости. Выразив силу из закона Гука при подстановке допустимого удлинения [Δl], получают предельное усилие по критерию деформируемости:

[F]жёстк = (E × A × [Δl]) / l₀

При одновременном действии ограничений и по прочности, и по деформациям за окончательную допускаемую силу растяжения для рассматриваемого элемента принимают меньшее из двух вычисленных значений - [F] или [F]жёстк.

Единицы измерения силы, напряжения и геометрических величин

Точность вычисления растягивающего усилия как из условия прочности, так и через упругие деформации напрямую зависит от строгого согласования размерностей всех подставляемых в расчётные формулы параметров. В инженерной практике исходные данные из чертежей, марочников сталей, каталогов крепежа и строительных норм часто представлены в разных системах единиц: линейные размеры деталей указывают в миллиметрах, площади сечений - в квадратных сантиметрах, а механические характеристики материалов - в мегапаскалях или гигапаскалях. Прямая подстановка несогласованных чисел приводит к грубым ошибкам в порядке получаемой величины (в 100, 1000 или 10⁶ раз).

Размерности осевой силы и переход от технических единиц к СИ

В Международной системе единиц (СИ) базовой единицей измерения силы служит Ньютон (Н). Поскольку для большинства реальных стержневых конструкций и деталей машин нагрузка в один Ньютон слишком мала, при технических расчётах используют кратные единицы - килоньютоны (кН) и меганьютоны (МН).

Наряду с единицами СИ в технической документации прошлых лет, паспортах подъёмного оборудования и при сборе весовых нагрузок широко применяются единицы системы МКГСС - килограмм-сила (кгс) и тонна-сила (тс). Физически 1 кгс равен силе тяжести, действующей на массу в один килограмм при стандартном ускорении свободного падения g = 9,80665 м/с².

Для перевода сил между различными единицами измерения применяются следующие точные и округлённые инженерные соотношения:

• 1 кН = 10³ Н = 1000 Н;
• 1 МН = 10⁶ Н = 1000 кН;
• 1 кгс = 9,80665 Н (в приближённых технических расчётах часто принимают 1 кгс ≈ 9,81 Н или укрупнённо 1 кгс ≈ 10 Н с запасом в сторону безопасности);
• 1 тс = 1000 кгс = 9806,65 Н ≈ 9,81 кН ≈ 10 кН;
• 1 Н = 0,101972 кгс;
• 1 кН = 101,972 кгс ≈ 0,102 тс.

Единицы механического напряжения, модуля упругости и площади сечения

Механическое напряжение σ и модуль продольной упругости E имеют одинаковую физическую размерность - отношение силы к единице площади. В системе СИ основной единицей служит Паскаль (Па), равный усилию в 1 Н, распределённому по площади в 1 м² (1 Па = 1 Н/м²). Для конструкционных материалов эта величина ничтожно мала, поэтому расчётные и справочные напряжения выражают в килопаскалях (кПа) и мегапаскалях (МПа), а модуль Юнга - в мегапаскалях (МПа) или гигапаскалях (ГПа).

При работе со старыми отечественными справочниками и ГОСТами напряжения и предел текучести часто заданы в кгс/см² или кгс/мм², а в спецификациях импортного оборудования и стандартах США (ASTM, ASME) - в фунтах-силы на квадратный дюйм (psi или ksi, где 1 ksi = 1000 psi).

Для безошибочного вычисления силы растяжения по формуле F = σ × A необходимо соотносить единицы напряжения с единицами, в которых выражена площадь поперечного сечения A (мм², см² или м²). Между линейными и площадными единицами действуют квадратичные коэффициенты перехода: в одном линейном сантиметре 10 мм, но в одном квадратном сантиметре - 100 мм²; в одном квадратном метре - 10⁴ см² или 10⁶ мм².

Самым удобным и распространённым в машиностроении соотношением является прямое равенство мегапаскаля и Ньютона на квадратный миллиметр:

1 МПа = 10⁶ Па = 10⁶ Н / 1 м² = 10⁶ Н / 10⁶ мм² = 1 Н/мм²

Это тождество позволяет подставлять в расчёт напряжение в МПа и площадь сечения в мм², сразу получая искомую силу растяжения в Ньютонах без каких-либо промежуточных переводных коэффициентов. Аналогично, 1 ГПа в точности равен 1 кН/мм² или 1000 Н/мм² (1000 МПа).

В таблице приведены точные коэффициенты пересчёта для согласования наиболее востребованных единиц измерения напряжения и модуля упругости:

Правила согласования величин в расчётных формулах

Чтобы исключить ошибки в положении десятичной запятой при ручном счёте или подготовке исходных данных, все переменные перед подстановкой приводят к одной из трёх самосогласованных рабочих схем:

• Машиностроительная схема (Н - мм - МПа): площадь сечения A выражают в мм², первоначальную длину l₀ и абсолютное удлинение Δl - в мм, напряжение σ и модуль упругости E - в МПа (Н/мм²). Если модуль Юнга задан в ГПа, его умножают на 1000 (например, для стали E = 200 ГПа = 200 000 МПа). В результате расчёта сила растяжения F получается непосредственно в Ньютонах (Н). Для перевода ответа в килоньютоны полученное число делят на 1000.
• Строительная схема в единицах МКГСС (кгс - см - кгс/см²): площадь профильного проката A берут из таблиц сортамента в см², длины l₀ и Δl переводят в см, а допускаемое напряжение [σ] и модуль упругости E подставляют в кгс/см² (для стали E ≈ 2,04 × 10⁶ кгс/см²). Результатом вычисления будет сила в килограммах-силы (кгс).
• Строгая схема СИ (Н - м - Па): все геометрические размеры переводят в метры (l₀ и Δl - в м, площадь A - в м²), а напряжения и модуль Юнга записывают в Паскалях со степенными множителями (например, σ = 250 × 10⁶ Па, E = 2 × 10¹¹ Па). Формула сразу даёт результат в Ньютонах (Н), однако работа с большими отрицательными степенями при переводе площади (например, 50 мм² = 50 × 10⁻⁶ м²) требует повышенного внимания при вычислениях.

При вычислении силы растяжения через закон Гука F = (E × A × Δl) / l₀ действует важное упрощение: отношение абсолютного удлинения к начальной длине (Δl / l₀), представляющее собой относительную продольную деформацию ε, является безразмерной величиной. Если и удлинение Δl, и длина стержня l₀ выражены в одних и тех же единицах (оба параметра в миллиметрах или оба в метрах), их размерности при делении взаимно сокращаются. В то же время, если длина стержня задана в метрах (например, l₀ = 3 м), а его удлинение - в миллиметрах (Δl = 1,5 мм), перед подстановкой в формулу длину обязательно переводят в миллиметры (l₀ = 3000 мм), иначе расчётная сила окажется завышенной ровно в 1000 раз.

Прикладные сценарии расчёта растягиваемых элементов конструкций

Базовые зависимости прочности и жёсткости применяются при проектировании и проверке деталей машин, строительных каркасов и такелажных узлов. В инженерной практике вычисление осевой растягивающей силы позволяет перейти от справочных характеристик материала и геометрии детали к конкретной грузоподъёмности узла или к величине внутренних усилий, возникающих при эксплуатации.

Стержни статически определимых ферм, проволочные и тросовые растяжки

В стержневых системах - плоских и пространственных фермах, кронштейнах, мачтовых опорах - внешняя узловая нагрузка распределяется между элементами в соответствии с углами их наклона. Если в статически определимой конструкции нагрузка приложена непосредственно к узлу, продольные усилия в сходящихся стержнях находят из уравнений равновесия статики (суммы проекций всех сил на координатные оси равны нулю). Однако в ряде практических задач - например, при натяжении проволочных оттяжек мачт, вантовых подвесок или регулируемых тяг с талрепами - фактическое усилие в ветви определяют по её измеренному удлинению Δl при монтаже либо ограничивают несущей способностью самого профиля.

При расчёте проволочных и тросовых растяжек через закон Гука учитывают особенности строения элемента:

• Для цельнотянутой стальной проволоки или калиброванного прутка в формулу F = (E × A × Δl) / l₀ подставляют площадь сплошного круга и табличный модуль упругости стали.
• Для витых стальных канатов и тросов расчётную площадь сечения A принимают равной суммарной площади всех проволок в прядях (площадь металлического сечения по сортаменту), которая меньше площади круга, описанного по наружному диаметру каната. Приведённый модуль упругости витого троса также ниже, чем у сплошного стального стержня, из-за взаимного обжатия и спиральной укладки прядей под нагрузкой.
• При проверке элементов ферм с ослабленными концами (например, уголков или полос с отверстиями под болты или заклёпки) максимальную допускаемую растягивающую силу [F] = [σ] × A _нетто вычисляют по площади сечения нетто - за вычетом площади отверстий, попадающих в одно поперечное сечение. Удлинение же всего стержня и его продольную жёсткость оценивают по площади целого сечения брутто, так как местные ослабления на коротких участках у узлов практически не влияют на общую деформацию длинного стержня.

Допустимая статическая нагрузка на резьбовые соединения

Болты, винты и шпильки, работающие в подвесках, фланцевых узлах, грузозахватных приспособлениях и анкерных креплениях, воспринимают продольную отрывающую нагрузку вдоль своей оси. При проверке прочности непредварительно затянутого (свободно нагруженного) резьбового крепежа разрушение или пластическая деформация при перегрузке происходит не по гладкому цилиндрическому стержню с номинальным диаметром резьбы d, а по нарезанной части, где сечение ослаблено витками.

Для определения допустимой статической осевой силы [F] на болт или шпильку в расчётную формулу [F] = [σ] × A _р подставляют расчётную площадь опасного сечения резьбы A _р (или площадь по внутреннему диаметру резьбы d₁). Для метрической резьбы это значение берут из справочных таблиц стандартов резьбы либо вычисляют по приведённому диаметру, учитывающему средний и внутренний диаметры профиля. Если известна площадь опасного сечения A _р в мм² и допускаемое напряжение на растяжение материала крепежа [σ] в МПа, произведение этих величин сразу даёт максимальную безопасную осевую нагрузку на один крепёжный элемент в Ньютонах.

Сравнение столбцов площадей показывает, что расчёт по внешнему диаметру d без учёта резьбовой нарезки завысил бы допустимую растягивающую нагрузку на 25-35%, что в реальной конструкции привело бы к срыву или разрыву стержня по впадинам резьбы.

Температурные усилия и напряжения в защемлённом стержне

Растягивающая сила в конструктивном элементе может возникать и без приложения внешних механических грузов - вследствие изменения температуры окружающей среды или рабочего тела. Если стержень длиной l₀ со свободными концами охладить на величину ΔT градусов, он беспрепятственно укоротится на абсолютную величину температурной деформации:

Δl T = α × l₀ × ΔT

В этом выражении α - коэффициент линейного теплового расширения материала (имеющий размерность 1/°C или 1/К). Когда концы стержня жёстко защемлены в неподвижных опорах (например, участок трубопровода между анкерными опорами, натянутый провод или рельсовая плеть бесстыкового пути при зимнем понижении температуры), опоры препятствуют свободному сокращению длины. В результате в стержне возникает упругое растяжение, в точности компенсирующее несостоявшееся температурное укорочение Δl _T .

При подстановке выражения для Δl _T вместо абсолютного удлинения Δl в формулу закона Гука F = (E × A × Δl) / l₀ начальная длина стержня l₀ в числителе и знаменателе сокращается:

F T = E × A × α × ΔT

Температурное напряжение в защемлённом стержне равно σ _T = E × α × ΔT, а вызываемая им осевая сила растяжения F _T зависит только от жёсткости поперечного сечения EA, коэффициента теплового расширения α и перепада температур ΔT, но не зависит от длины зафиксированного участка. На практике это означает, что при одинаковом охлаждении и короткая стальная связь длиной 1 м, и длинная тяга длиной 15 м с тем же диаметром передадут на свои неподвижные опоры абсолютно одинаковую растягивающую силу. Для вычисления этой силы достаточно задать эквивалентную относительную деформацию ε = α × ΔT (или условное удлинение Δl = α × l₀ × ΔT на произвольной базе l₀) и умножить полученное напряжение на площадь сечения A.

Примеры пошагового расчёта для стального прутка круглого сечения

Применение расчётных формул для определения силы растяжения различается в зависимости от того, какие параметры известны изначально: фактическая деформация упругого элемента или предельные механические характеристики материала.

Пример 1. Определение действующей силы растяжения по заданному удлинению

Требуется определить осевую растягивающую силу F, действующую на стальную круглую тягу, если под нагрузкой на базовой длине l₀ = 2,5 м зафиксировано абсолютное удлинение Δl = 1,6 мм. Диаметр прутка составляет d = 20 мм, модуль продольной упругости стали принят равным E = 200 ГПа.

Последовательность вычислений с согласованием единиц измерения в схеме Н - мм - МПа:

• Перевод исходных данных к единой размерности длины (мм) и напряжения (МПа = Н/мм²): начальная длина l₀ = 2,5 м = 2500 мм; удлинение Δl = 1,6 мм; диаметр d = 20 мм; модуль Юнга E = 200 ГПа = 200 × 10³ МПа = 200 000 Н/мм².
• Вычисление площади поперечного сечения круглого прутка: A = (π × d²) / 4 = (3,1416 × 20²) / 4 = 314,16 мм².
• Определение относительной продольной деформации: ε = Δl / l₀ = 1,6 / 2500 = 0,00064 (безразмерная величина).
• Расчёт возникшего нормального напряжения по закону Гука: σ = E × ε = 200 000 × 0,00064 = 128 МПа (Н/мм²).
• Вычисление растягивающей силы: F = σ × A = 128 × 314,16 = 40 212,48 Н ≈ 40,21 кН (или около 4,10 тс при делении на ускорение свободного падения 9,80665 м/с²).

Тот же результат получается при прямой подстановке всех параметров в объединённую формулу: F = (200 000 × 314,16 × 1,6) / 2500 = 40 212,48 Н.

Пример 2. Определение максимальной допускаемой силы растяжения по напряжению материала

Для того же стального прутка диаметром d = 20 мм (площадь поперечного сечения A = 314,16 мм²) требуется определить максимально допустимую статическую нагрузку [F]. Пруток изготовлен из конструкционной стали с пределом текучести σ _т = 240 МПа, а требуемый нормативный коэффициент запаса прочности по текучести составляет n _т = 1,5.

Последовательность расчёта на прочность:

• Определение допускаемого нормального напряжения для материала тяги: [σ] = σ _т / n _т = 240 / 1,5 = 160 МПа (160 Н/мм²).
• Вычисление допускаемой силы растяжения: [F] = [σ] × A = 160 × 314,16 = 50 265,6 Н ≈ 50,27 кН (или около 5,13 тс).

Сопоставление результатов двух примеров показывает, что рабочая нагрузка F = 40,21 кН, вызвавшая удлинение прутка на 1,6 мм в первом случае, меньше предельно допустимого усилия [F] = 50,27 кН. Условие прочности выполняется с запасом (рабочее напряжение 128 МПа ниже допускаемого 160 МПа), а деформация стержня гарантированно находится в линейно-упругой зоне.