Корень линейного уравнения с одной переменной - это конкретное числовое значение неизвестной величины, при подстановке которого исходное алгебраическое равенство обращается в верное числовое тождество. Онлайн-инструмент выполняет расчет неизвестного в уравнениях первой степени по заданным пользователем параметрам. На вход подаются числовые коэффициенты и свободные члены или полная запись равенства. В результате вычислений определяется точное значение переменной либо фиксируется отсутствие единственного решения.
Линейным называется алгебраическое уравнение, в котором максимальная степень неизвестной величины равна единице. В таких выражениях переменная не возводится в квадрат или более высокие степени, не находится под знаком арифметического корня и не выступает в роли делителя в знаменателе дроби.
Суть математической операции сводится к изоляции неизвестного в одной части равенства через последовательность тождественных преобразований. Вычислительный алгоритм переносит слагаемые между частями уравнения, приводит подобные члены и делит полученную константу на коэффициент при переменной. Если подставить найденное число обратно в исходную запись вместо неизвестной буквы, левая и правая части уравнения станут строго равны между собой. Именно это совпадение подтверждает правильность найденного решения.
Стандартная форма и структура уравнения первой степени
Канонический вид линейного уравнения с одной неизвестной величиной записывается с помощью общей алгебраической формулы ax + b = 0. В прикладных расчетах также используется эквивалентная форма записи ax = -b, где слагаемое без переменной вынесено за знак равенства. Любое сложное линейное равенство со скобками и множеством слагаемых перед финальным вычислением приводится именно к этой базовой структуре.
Каждая позиция в стандартной записи отвечает за отдельный математический параметр. В таблице ниже приведена расшифровка всех структурных элементов канонического уравнения на примере записи 4x - 12 = 0.
| Элемент формулы | Математическое название | Роль в структуре равенства | Значение в примере 4x - 12 = 0 |
|---|---|---|---|
| x | Переменная уравнения | Искомая неизвестная величина, числовое значение которой требуется найти | x |
| a | Коэффициент при неизвестном | Числовой множитель, стоящий непосредственно перед переменной | 4 |
| b | Свободный член | Известная константа, не связанная с переменной операцией умножения | -12 |
| = | Знак равенства | Разделитель, формирующий баланс между левой и правой частями записи | = |
При подготовке исходных данных важно учитывать правила скрытой математической записи коэффициентов. Если перед буквой переменной не написано число (например, x + 7 = 0), коэффициент a по умолчанию равен 1. Когда перед неизвестным стоит только знак минуса (-x + 7 = 0), множитель a принимает значение -1. Если в записи отсутствует отдельное числовое слагаемое (например, 6x = 0), свободный член b равен 0. Знак, стоящий перед числом, всегда относится к самому коэффициенту или свободному члену.
Различие между алгебраическим выражением и равенством
При составлении математической записи необходимо строго разграничивать линейное алгебраическое выражение и уравнение. Выражение вида ax + b представляет собой комбинацию чисел, буквы и знаков арифметических операций, но не содержит знака равенства. Такую запись можно упростить или вычислить при заранее заданном значении буквы, однако найти в ней корень невозможно, поскольку отсутствует условие баланса.
Математическое равенство возникает только при соединении двух выражений знаком «=». В канонической формуле ax + b = 0 левая часть представлена двучленом ax + b, а правая часть зафиксирована на нулевом значении. Именно наличие двух уравновешенных частей превращает алгебраическую запись в разрешимую задачу по поиску неизвестной величины.
Признаки и ограничения первой степени
Принадлежность уравнения к линейному классу определяется строгими структурными ограничениями, накладываемыми на переменную. В стандартной записи показатель степени неизвестного всегда равен единице (x 1 = x) и в явном виде не указывается. Чтобы равенство оставалось линейным и решалось по базовой формуле первой степени, в его структуре должны отсутствовать нелинейные математические операции над искомой величиной:
- возведение переменной во вторую, третью или любую другую степень, отличную от единицы (записи с элементами x 2 или x 3 относятся к квадратным и кубическим уравнениям);
- нахождение неизвестной величины под знаком арифметического корня любой степени (например, √x);
- расположение переменной в знаменателе дроби, где она выступает в роли делителя (выражения вида a / x переводят задачу в разряд дробно-рациональных уравнений);
- перемножение двух экземпляров переменной между собой при раскрытии скобок, так как операция x · x приводит к появлению второй степени.
Перечисленные ограничения касаются исключительно самой неизвестной величины x. Числовые коэффициенты a и свободные члены b могут быть любыми действительными числами: целыми, отрицательными, десятичными или обыкновенными дробями, а также константами, записанными со степенями или под знаком корня (например, уравнение √2 · x - 5 2 = 0 является строго линейным, поскольку сама переменная x входит в него в первой степени).
Алгоритм нахождения неизвестного и равносильные преобразования
Практические задачи редко представлены сразу в упрощенном каноническом виде. Исходная запись обычно содержит скобки, разрозненные числовые константы и несколько вхождений переменной в обеих частях равенства. Для нахождения корня такое выражение необходимо последовательно упростить и изолировать искомую величину в одной части.
Вычислительный процесс строится на получении цепочки равносильных уравнений. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Чтобы при переходе от исходной сложной записи к простому виду корень не изменился и не потерялся, применяются строго определенные тождественные преобразования и свойства равновесия равенства.
Свойства равносильности при преобразовании равенств
Математическое равенство сохраняет свою истинность только при условии, что любые алгебраические действия выполняются синхронно над его левой и правой частями. В основе пошагового алгоритма изоляции переменной лежат два фундаментальных правила равносильного перехода:
- если к обеим частям уравнения прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число либо алгебраическое выражение с переменной, получится уравнение, равносильное исходному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, множество корней равенства останется неизменным.
Последовательное применение этих правил и тождественных алгебраических замен формирует универсальный четырехшаговый алгоритм решения.
Раскрытие скобок и учет знаков
Если в исходной записи присутствуют выражения, заключенные в скобки, вычисление начинается с их устранения. Для этого применяется распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: множитель, стоящий перед скобкой, необходимо умножить на каждое слагаемое внутри нее. В общем виде это тождественное преобразование записывается как k(a + b) = ka + kb или k(a - b) = ka - kb.
Особого внимания требует знак, стоящий непосредственно перед скобкой или числовым множителем:
- при положительном множителе (знак плюс перед скобками) знаки всех внутренних слагаемых при раскрытии сохраняются;
- при отрицательном множителе или одиночном знаке минус перед скобками знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные: выражение -(a - b + c) преобразуется в -a + b - c.
При наличии вложенных конструкций скобки раскрываются последовательно - начиная от самых внутренних к внешним, либо наоборот, с обязательным пересчетом знаков на каждом промежуточном шаге.
Перенос слагаемых и группировка членов
После устранения всех скобок уравнение представляет собой сумму и разность отдельных элементов - слагаемых с переменной и свободных числовых констант. Следующая задача алгоритма - разделить неизвестные и известные величины по разные стороны от знака равенства. По общепринятому правилу все члены, содержащие переменную x, собирают в левой части уравнения, а все свободные члены (числа без переменной) переносят в правую часть.
Операция переноса базируется на первом свойстве равносильности (вычитании или прибавлении одинаковых величин к обеим частям) и на практике сводится к простому правилу: любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, обязательно изменив его знак на противоположный. Плюс при переходе через знак равенства меняется на минус, а минус - на плюс. Элементы, которые остаются в своей исходной части уравнения, сохраняют прежние знаки.
Приведение подобных слагаемых
Когда группировка завершена, в левой части оказываются только выражения с неизвестным, а в правой - только числа. На этом этапе выполняется приведение подобных слагаемых - объединение элементов с одинаковой буквенной частью путем сложения или вычитания их числовых коэффициентов.
В левой части уравнения складываются все множители при переменной x по правилу распределительного закона в обратную сторону: a 1 x + a 2 x - a 3 x = (a 1 + a 2 - a 3 )x. В правой части выполняется обычный арифметический подсчет суммы или разности всех свободных констант. В результате этих тождественных преобразований произвольное исходное уравнение любой длины сжимается до базового двухэлементного вида ax = c, где a - итоговый суммарный коэффициент при неизвестном, а c - итоговое значение свободного члена в правой части.
Изоляция переменной и нахождение корня
Заключительный шаг алгоритма - освобождение неизвестной величины x от числового множителя a. Поскольку между коэффициентом a и переменной x подразумевается операция умножения, для изоляции переменной применяется обратная математическая операция - деление.
Согласно второму свойству равносильности, обе части упрощенного уравнения ax = c делятся на коэффициент при неизвестном a. При выполнении обязательного условия a ≠ 0 в левой части множитель сокращается (ax / a = 1x = x), а в правой части формируется итоговая дробь или частное двух чисел:
x = c / a
Полученное числовое значение и является искомым корнем линейного уравнения. Вся последовательность алгебраических шагов от первичной обработки записи до финального деления систематизирована в таблице ниже.
| Этап алгоритма | Выполняемая операция | Математическое правило и формула | Назначение шага в расчете |
|---|---|---|---|
| Шаг 1. Раскрытие скобок | Умножение внешнего множителя на каждое внутреннее слагаемое | Распределительный закон: k(a + b) = ka + kb; смена знаков при отрицательном k | Переход от произведений со скобками к линейной сумме отдельных слагаемых |
| Шаг 2. Перенос слагаемых | Перемещение элементов через знак равенства | Вычитание или сложение равных величин; смена знака переносимого члена на противоположный | Изоляция группы членов с переменной в левой части и констант в правой части |
| Шаг 3. Приведение подобных | Сложение числовых коэффициентов при переменной и подсчет констант | Объединение подобных членов: a 1 x + a 2 x = (a 1 + a 2 )x | Сжатие обеих частей равенства до компактного вида ax = c |
| Шаг 4. Деление на коэффициент | Применение операции, обратной умножению, к обеим частям | Деление на ненулевое число: x = c / a (при условии a ≠ 0) | Получение единичного коэффициента перед неизвестным (1x = x) и вычисление корня |
При ручных расчетах или проверке промежуточных вычислений основная масса арифметических ошибок возникает на первых двух этапах. Наиболее частые неточности связаны с потерей знака минус при умножении отрицательного числа на второе слагаемое внутри скобки, а также с сохранением старого знака элемента при его переносе через знак равенства. Строгое соблюдение описанного порядка действий гарантирует точное сведение любого уравнения первой степени к виду ax = c.
Анализ количества корней и частные случаи решения
После выполнения равносильных преобразований и приведения подобных слагаемых уравнение с одной переменной сводится к упрощенной записи вида ax = b. На завершающем этапе расчетов количество корней и сам факт их существования полностью зависят от конкретных числовых значений итогового коэффициента a при неизвестном и свободного члена b в правой части. В зависимости от комбинации этих двух параметров алгебраическое равенство имеет ровно три математических исхода.
Единственное решение уравнения
Стандартный случай наступает при условии, что коэффициент перед переменной отличен от нуля (a ≠ 0). Поскольку запрет на деление на ноль не нарушается, обе части равенства делятся на множитель a, что дает единственное значение неизвестного по формуле x = b / a. Значение свободного члена b при этом может быть любым числом, включая ноль: если b = 0, а a ≠ 0, то частное 0 / a дает вполне определенный единственный корень x = 0.
В зависимости от делимости числителя b на знаменатель a итоговый числовой результат вычисления записывается в одном из трех форматов:
- Целое число - получается, когда свободный член b делится на коэффициент a без остатка (например, при решении уравнения 4x = -12 корнем является x = -3).
- Обыкновенная рациональная дробь - используется для сохранения абсолютной математической точности, когда деление не выполняется нацело. Результат фиксируется в виде несократимой дроби b/a или смешанного числа (например, из равенства 7x = 3 следует точное значение x = 3/7).
- Конечная или периодическая десятичная дробь - образуется при переводе обыкновенной дроби в десятичный формат. Если знаменатель после сокращения содержит в разложении только простые множители 2 и 5, дробь будет конечной (например, 2x = 1 дает x = 0,5). При наличии других простых делителей возникает бесконечная периодическая дробь, которую в прикладных расчетах заменяют на десятичное приближение с нужной точностью округления (например, 3x = 1 дает x = 0,333...).
Вырожденные случаи при нулевом коэффициенте
Особого внимания требуют ситуации, когда в процессе раскрытия скобок и переноса слагаемых все члены с переменной взаимно уничтожаются. Математически это означает, что итоговый коэффициент a обращается в ноль (a = 0), а в левой части равенства остается произведение 0x. Так как деление на ноль невозможно, стандартная формула x = b / a здесь неприменима, а наличие решений определяется исключительно значением константы b в правой части.
Бесконечное множество решений возникает при одновременном соблюдении двух условий: a = 0 и b = 0. Уравнение принимает вид 0x = 0. Поскольку произведение любого числа на ноль всегда дает ноль, левая часть равенства тождественно равна правой независимо от того, какое значение принимает переменная x. Исходное выражение при этом оказывается верным числовым тождеством (например, при упрощении записи 2(x + 3) = 2x + 6 получается 0x = 0). Корнем такого уравнения является любое действительное (вещественное) число, что в математической записи обозначается как x ∈ R.
Отсутствие корней фиксируется в случае, когда коэффициент при неизвестном равен нулю (a = 0), но свободный член отличен от нуля (b ≠ 0). Уравнение сводится к записи вида 0x = b (например, после преобразования выражения 5x - 4 = 5x + 2 остается равенство 0x = 6). В алгебре такое соотношение классифицируется как противоречивое уравнение: не существует ни одного действительного числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевую константу b. Запись представляет собой прямое математическое противоречие, поэтому на множестве вещественных чисел решений нет (множество корней пусто, x ∈ ∅).
Сводные правила определения количества корней по значениям параметров a и b в уравнении вида ax = b представлены в таблице ниже.
| Значение коэффициента a | Значение свободного члена b | Итоговый вид уравнения | Количество корней | Математическая интерпретация результата |
|---|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | Любое число (b ∈ R) | ax = b | Один корень | Определенное уравнение; единственное решение вычисляется как x = b / a (при b = 0 корень равен x = 0) |
| a = 0 | b = 0 | 0x = 0 | Бесконечно много | Тождественное равенство; решением является любое действительное число (x ∈ R) |
| a = 0 | b ≠ 0 | 0x = b | Корней нет | Противоречивое уравнение (математическое противоречие); решений на множестве действительных чисел не существует (x ∈ ∅) |
Проверка условий для коэффициентов a и b на шаге приведения подобных членов позволяет сразу классифицировать вырожденные уравнения и избежать распространенной ошибки - попытки разделить правую часть на нулевой множитель или неверного вывода о том, что при сокращении переменной x корень якобы равен нулю.
Преобразование уравнений с дробями и дробными коэффициентами
Линейные уравнения с одной переменной нередко содержат обыкновенные или десятичные дроби в качестве числовых множителей при неизвестном и свободных членов. Прямые вычисления с дробными числами усложняют арифметику и повышают риск ошибок при сложении, вычитании или делении. Чтобы упростить поиск корня, исходное равенство предварительно преобразуют в равносильное уравнение с целыми коэффициентами.
Работа с десятичными дробями сводится к умножению обеих частей равенства на степень числа 10 (10, 100, 1000 и так далее). Выбор множителя зависит от максимального количества знаков после запятой среди всех элементов уравнения. Например, если в записи присутствуют коэффициенты с сотыми долями (два знака после запятой), умножение каждого слагаемого на 100 полностью сдвигает запятую вправо и переводит все числа в целые.
Избавление от числовых знаменателей через НОЗ
Если уравнение включает обыкновенные дроби или дробные алгебраические выражения с числовыми знаменателями, применяется алгоритм освобождения от знаменателей. Базовым параметром для такого преобразования служит НОЗ, который численно равен НОК всех знаменателей, присутствующих в левой и правой частях равенства.
Процесс перехода к целым коэффициентам состоит из последовательных шагов:
- Выписываются все числовые знаменатели дробей, входящих в уравнение, и для них находится НОК, которое выступает в роли НОЗ.
- Определяется дополнительный множитель для каждой дроби путем деления найденного НОЗ на ее текущий знаменатель, а для целых слагаемых без знаменателя дополнительным множителем становится сам НОЗ.
- Каждый член как левой, так и правой части уравнения умножается на НОЗ, при этом знаменатели обыкновенных дробей полностью сокращаются, а числители умножаются на соответствующие дополнительные множители.
При сокращении знаменателя у дроби, в числителе которой стоит сумма или разность выражений (например, двучлен вида ax + b), весь числитель при умножении на дополнительный множитель необходимо заключать в скобки. Игнорирование этого правила при наличии знака «минус» перед дробью приводит к неверному определению знаков слагаемых: минус перед дробной чертой относится ко всему числителю целиком, а не только к его первому члену.
Если в уравнении одновременно встречаются обыкновенные и десятичные дроби, перед поиском НОЗ целесообразно привести все числа к единому формату. Обычно десятичные дроби переводят в обыкновенные (сокращая их при возможности), так как не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной (например, дроби со знаменателями 3, 6, 7 или 9 дают бесконечные периодические дроби, непригодные для точных промежуточных вычислений).
Применение основного свойства пропорции
Отдельный структурный вид представляют уравнения, записанные как равенство двух дробных выражений с постоянными числовыми знаменателями:
(ax + b) / c = (dx + e) / fВ этой записи параметры c и f являются константами, отличными от нуля (c ≠ 0, f ≠ 0), а переменная x находится исключительно в числителях. Такое равенство двух отношений образует математическую пропорцию. Для перехода к линейной записи без дробей вместо поиска НОЗ удобнее использовать основное свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних членов (умножение крест-накрест).
Умножение числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой сразу переводит уравнение в линейную строку со скобками:
f · (ax + b) = c · (dx + e)Сравнение подходов к начальному преобразованию линейных уравнений в зависимости от вида дробных элементов приведено в таблице.
| Структурный вид уравнения | Условие применения | Способ перехода к целым числам | Результат первичного шага |
|---|---|---|---|
| Уравнение с десятичными коэффициентами | Все дроби конечные десятичные | Умножение всех членов уравнения на 10, 100, 1000 по числу разрядов после запятой | Сдвиг десятичной запятой и получение целых коэффициентов |
| Сумма и разность обыкновенных дробей | Наличие двух и более дробей и отдельных целых слагаемых | Нахождение НОЗ через НОК знаменателей и умножение на него каждого члена равенства | Сокращение всех знаменателей, умножение числителей на дополнительные множители |
| Равенство двух алгебраических дробей: (ax + b) / c = (dx + e) / f | В каждой части уравнения только одна дробь без отдельных слагаемых, при этом c ≠ 0 и f ≠ 0 | Применение свойства пропорции (умножение крест-накрест) | Равенство вида f(ax + b) = c(dx + e), готовое к раскрытию скобок |
Важно учитывать, что правило пропорции напрямую работает только тогда, когда и слева, и справа от знака равенства находится ровно по одной отдельной дроби. Если в одной из частей уравнения к дроби прибавляется или вычитается отдельное число, сначала либо приводят эту часть к одной дроби под общим знаменателем, либо используют стандартный метод умножения всех членов уравнения на НОЗ.
Геометрическая интерпретация корня линейного уравнения
Алгебраическое нахождение корня уравнения ax + b = 0 напрямую связано с геометрическими представлениями на прямой и плоскости. В одномерном пространстве любое отдельное решение уравнения первой степени изображается как конкретная точка на числовой оси, координата которой в точности равна вычисленному значению x. Если перенести задачу в двумерное пространство декартовых координат, поиск неизвестного превращается в исследование линейной функции вида y = ax + b.
При таком подходе левая часть канонического уравнения рассматривается как зависимая переменная y, а само уравнение ax + b = 0 задает частное условие y = 0. Графиком линейной функции y = ax + b на координатной плоскости всегда выступает прямая линия. Положение и наклон этой прямой полностью определяются числовыми значениями двух параметров уравнения:
- Параметр a представляет собой угловой коэффициент прямой, который отвечает за наклон графика относительно горизонтальной оси и направление его роста или убывания при движении слева направо.
- Свободный член b указывает на точку пересечения графика с вертикальной осью ординат (осью Y), так как при подстановке x = 0 значение функции принимает вид y = b, формируя точку с координатами (0; b).
Корень уравнения как нуль линейной функции
На координатной плоскости условие y = 0 описывает все точки, лежащие непосредственно на горизонтальной оси абсцисс (оси X). Следовательно, решение уравнения ax + b = 0 сводится к нахождению абсциссы точки, в которой график прямой y = ax + b пересекает ось X. В математическом анализе это значение аргумента называют нулем функции.
Если угловой коэффициент отличен от нуля (a ≠ 0), прямая наклонена к горизонтальной оси и пересекает ее ровно один раз в точке с координатами (-b / a; 0). Абсцисса этой точки пересечения x = -b / a и является единственным корнем исходного уравнения. Знак отношения коэффициентов показывает, в какой полуплоскости относительно начала координат произойдет пересечение: справа от нуля при положительном результате или слева при отрицательном.
Геометрический смысл вырожденных случаев
Когда коэффициент при переменной обращается в нуль (a = 0), наклон исчезает, а зависимость y = 0x + b вырождается в постоянную функцию y = b. График такой функции не меняется при любых значениях аргумента x и представляет собой горизонтальную прямую. Взаимное расположение этой прямой и оси абсцисс наглядно объясняет, почему в частных случаях уравнение теряет корни или получает бесконечное число решений.
Соответствие между алгебраическими условиями и положением графика на декартовой плоскости систематизировано в таблице.
| Значения параметров a и b | Уравнение функции | Положение прямой в декартовых координатах | Взаимодействие с осью X (y = 0) | Геометрическое представление решения |
|---|---|---|---|---|
| a ≠ 0, b - любое число | y = ax + b | Наклонная прямая, пересекающая ось Y в точке (0; b) | Единственное пересечение с осью абсцисс | Одна точка на оси X с координатой x = -b / a |
| a = 0, b ≠ 0 | y = b | Горизонтальная прямая, проходящая через точку (0; b) выше или ниже оси X | Прямая параллельна оси X и не имеет с ней общих точек | Пустое множество (точек пересечения нет, корней нет) |
| a = 0, b = 0 | y = 0 | Горизонтальная прямая, проходящая через начало координат (0; 0) | График прямой полностью совпадает с осью X | Вся числовая ось X (абсцисса любой точки прямой является корнем) |
Геометрическая интерпретация также применима к уравнениям, записанным до приведения к каноническому виду, например cx + d = ex + f. В этом случае левую и правую части можно рассматривать как две отдельные линейные функции y = cx + d и y = ex + f. Искомым корнем уравнения будет абсцисса точки пересечения двух соответствующих прямых на плоскости. Если угловые коэффициенты этих прямых равны (c = e), а свободные члены различаются (d ≠ f), прямые окажутся параллельными друг другу, что графически подтверждает отсутствие решений.
Примеры расчета корня и проверка найденного значения
Практическое вычисление неизвестной величины зависит от исходной записи равенства. Наличие скобок, отрицательных множителей или дробных коэффициентов определяет, какие именно шаги потребуются для изоляции переменной.
Базовое уравнение с переносом слагаемых
Рассмотрим нахождение корня на примере равенства 5x - 12 = 2x + 6, где неизвестная величина и константы присутствуют в обеих частях. Последовательность вычислений выглядит следующим образом:
- Слагаемое 2x переносится в левую часть с противоположным знаком, а свободный член -12 перемещается в правую часть: 5x - 2x = 6 + 12.
- Выполняется приведение подобных членов в каждой части равенства: 3x = 18.
- Обе части делятся на коэффициент при неизвестном: x = 18 / 3.
- Итоговое значение корня: x = 6.
Уравнение со скобками и отрицательными коэффициентами
При наличии скобок и отрицательных чисел особое внимание уделяется знакам при умножении. Разберем пример: 4 - 3(2x - 5) = 10 - x.
Сначала раскрываются скобки в левой части. Множитель -3 последовательно умножается на 2x и на -5, что дает выражение 4 - 6x + 15 = 10 - x. Промежуточное суммирование свободных членов слева упрощает запись до -6x + 19 = 10 - x. После переноса неизвестных влево и чисел вправо уравнение принимает вид -6x + x = 10 - 19, или -5x = -9. Деление -9 на -5 дает положительный результат: x = 9 / 5 (в десятичной форме x = 1,8).
Уравнение с дробными числовыми коэффициентами
Для расчета уравнения (x + 2) / 3 - x / 4 = 1 целесообразно предварительно избавиться от знаменателей. Наименьшее общее кратное для чисел 3 и 4 равно 12. Умножение каждого члена равенства на 12 позволяет сократить знаменатели:
12 · (x + 2) / 3 - 12 · (x / 4) = 12 · 1После сокращения дробей получается линейное уравнение с целыми коэффициентами: 4(x + 2) - 3x = 12. Раскрытие скобок дает 4x + 8 - 3x = 12. Приведение подобных слагаемых в левой части и перенос числа 8 в правую часть приводят к результату: x = 12 - 8, откуда x = 4.
Правило проверки найденного решения
Чтобы убедиться в отсутствии арифметических ошибок и потерь знака, выполняется проверка путем прямой подстановки найденного числа вместо переменной x в исходное, непреобразованное уравнение. Подстановка в промежуточные этапы решения не выявляет ошибки, допущенные на первых шагах раскрытия скобок или умножения на общий знаменатель.
При вычислении значений левой и правой частей необходимо строго соблюдать стандартный приоритет арифметических операций: сначала выполняются действия внутри скобок, затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь - сложение и вычитание. Если после независимого подсчета обеих частей получены одинаковые числа, равенство является истинным, а найденное значение признается верным корнем.
Результаты проверочной подстановки для разобранных выше примеров сведены в таблицу:
| Исходное уравнение | Найденный корень | Подстановка и вычисление левой части | Подстановка и вычисление правой части | Сверка результатов |
|---|---|---|---|---|
| 5x - 12 = 2x + 6 | x = 6 | 5 · 6 - 12 = 30 - 12 = 18 | 2 · 6 + 6 = 12 + 6 = 18 | 18 = 18 (равенство истинно) |
| 4 - 3(2x - 5) = 10 - x | x = 1,8 | 4 - 3(2 · 1,8 - 5) = 4 - 3(3,6 - 5) = 4 - 3 · (-1,4) = 4 + 4,2 = 8,2 | 10 - 1,8 = 8,2 | 8,2 = 8,2 (равенство истинно) |
| (x + 2) / 3 - x / 4 = 1 | x = 4 | (4 + 2) / 3 - 4 / 4 = 6 / 3 - 1 = 2 - 1 = 1 | Константа равна 1 | 1 = 1 (равенство истинно) |
Если при проверке итоговые числа в левой и правой частях не совпадают, следует пересмотреть знаки слагаемых при переносе через знак равенства и правильность умножения отрицательных коэффициентов при раскрытии скобок.